閉じた系における熱力学第一法則

熱力学第一法則は熱力学におけるエネルギー保存則

次の式は、熱力学を学ぶ上で最も大切な法則であり、熱力学第一法則を理解すれば、みなさんにもよくなじみのある現象だということがわかると思います。

\[Q = dU + W {\tag1}\]

ただしこれは、閉じた系という条件のもとの話なんですね。

今回は閉じた系における熱力学第一法則を解説します。

閉じた系での熱力学第一法則とは？

まず、閉じた系とはどのような状態でしょうか？

それは、図1（下にあります）のような状態で、シリンダの中に理想気体が入っていて、外には気体の出入りがありません。

あるのは熱のやりとり、それにともなうピストンの動き、これだけです。

物質（気体）の出入りがない状態を、閉じた系、というんですね。

閉じた系の説明はたったこれだけです。

閉じた系の熱力学第一法則を理解しよう

それでは本題、閉じた系での熱力学第一法則を導いていきましょう。

登場人物はたったの３人です。

熱量:Q

仕事:W
内部エネルギー:U　です。

式(1)は覚えやすいですが、単に覚えるだけだと、正負の符号でイタイめを見る可能性がありますので、内容を理解して覚えることをお勧めします。

まずは、図1を見てください

ヒータが内蔵されたシリンダに、熱量Qを加える場合を考えます。

シリンダ内の気体に熱量Qを与えると、内部エネルギーが大きくなり、かつ、ピストンを動かして、外に仕事をします。

気体が外に仕事をする→正の符号

とすると、熱量Qを加えたことで内部エネルギーはU2-U1だけ大きくなり、Wだけ仕事をしたので、

Q = (U2-U1) + W

Q = dU + W

これが熱力学第一法則の基本的な定義となります。

これを概念的に示すと、

こんな感じです。

あくまでも仕事Wは、シリンダ内の気体が外部にする仕事ですので、ピストンを押して体積を膨張させる方向を正としています。

これが逆だと答えも間違ってしまうので注意が必要です。

内部エネルギーU1を持つシリンダ内部の気体に、熱量Qを与えたら、気体が外にWの仕事をして、内部エネルギーがU2になった

こんなイメージで覚えるとわかりやすいかと思います。

閉じた系での気体の仕事　W＝PdV

それでは閉じた系では熱量が加えられたとき、ピストンを動かしてどのくらいの仕事をするのでしょうか。

閉じた系での仕事は次の式(2)のように表されます。

\[W = \int_{V1}^{V2} P dV {\tag2}\]

ここで、状態１から２への変化を瞬間的な変化に区切ってみてみましょう。

図3　ピストンが微小距離dxだけ動く時の仕事の算出

図3のように、内圧Pでピストンの断面積Aのとき、一瞬だけを見るとほんの少しの距離、つまり、微小距離dxだけ動くことになります。このとき一瞬だけした仕事をdWとします。

仕事dWの単位は[N･m]であり、内圧P[N/m2]、断面積A[ｍ２]、微小距離dx[m]ですから、P、A、dxすべてかけてあげれば仕事と同じ単位になります。よって

dW=PAdx=PdV　(Adxは変化した体積dVと一緒ですね)

図4　状態1→2の時の圧力Pと体積Vの変化

これは一瞬を切り取った仕事ｄWでした。実際には状態1→2へ変化するので、グラフにすると図4のようになり、状態1→2の変化は経路1を通って進んでいきます。

ですので、V1からV2にわたって積分してあげれば式(2)となるわけです。

また、仕事Wは図4に示すように、斜線の面積分でもあるんですね。

この図4は今後何度かお目にかかると思いますので、心にとめておいてください。

最後に

冒頭で解説した、開いた系での熱力学第一法則については、以下で詳しく解説しています。

何はともあれ今回は終了です、お疲れさまでした。